學(xué)信號(hào)處理要理解均值、平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差

遇到一些朋友說(shuō)信號(hào)處理真難，學(xué)是很辛苦的學(xué)了，就是不知道怎么用。學(xué)而不能致用，如此辛苦的學(xué)習(xí)就有點(diǎn)費(fèi)時(shí)費(fèi)力了。當(dāng)然本文也并非想說(shuō)學(xué)必致用，有的東西學(xué)了還真不見得能用上。只不過(guò)學(xué)過(guò)的，想用的要會(huì)用則達(dá)到學(xué)的目的了。此言：學(xué)以致用，學(xué)能致用！謹(jǐn)與諸君共勉！

很多時(shí)候，為什么學(xué)而不能致用呢？沒(méi)有用的需求，當(dāng)然就不說(shuō)了。往往不會(huì)用，是因?yàn)椴恢涝趺慈ビ?，而不知道怎么用，個(gè)人覺(jué)得很重要的原因是因?yàn)楹芏嗷A(chǔ)的概念沒(méi)有理解到位，對(duì)于工程技術(shù)人員而言，對(duì)于基礎(chǔ)概念的理解把握，往往決定了解決問(wèn)題的方向、思路、深度。以信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，里面就有大量的基礎(chǔ)概念需要真正去理解。本文就來(lái)聊聊如何去描述度量信號(hào)的幾個(gè)概念。

均值

信號(hào)處理中一個(gè)最為簡(jiǎn)單的概念就是均值(Mean)，和你想的一樣，加起來(lái)除以樣本數(shù)量：

在學(xué)習(xí)DSP時(shí)，要習(xí)慣各種數(shù)學(xué)表示的方案，比如這里 就是表示求和，表示從開始求和。為了讓都能看懂，這個(gè)公式換一個(gè)表達(dá)形式：

所以就是更為簡(jiǎn)潔的描述求和的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

對(duì)于這個(gè)公式在延申一下，這里是離散信號(hào)，如果是離散概率序列,對(duì)于確定的其概率為，則這樣的離散概率分布序列，其均值則為：

其實(shí)，對(duì)于前一公式也可以用概率均值去理解，看成N個(gè)樣本集合，則每一個(gè)樣值其概率就是！

那么研究均值有啥意義呢？其實(shí)一般對(duì)于原始樣本直接計(jì)算均值可能意義不是特別大，但是基于均值衍生的其他統(tǒng)計(jì)量則非常有價(jià)值，比如接下來(lái)要說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡(jiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)差。

平均偏差

在談標(biāo)準(zhǔn)差之前，先談?wù)勂骄?。何為平均偏差，?yán)格講應(yīng)該稱為平均絕對(duì)偏差(Average Absolute Deviation)，在談平均絕對(duì)偏差前，先談?wù)劷^對(duì)偏差,絕對(duì)偏差，從字面意義上理解，很容易可以想到其計(jì)算這樣是這樣得來(lái)，由某樣本與均值的差的絕對(duì)值：

那么平均絕對(duì)偏差，所差的就是一個(gè)平均了：

來(lái)試著理解一下這個(gè)公式，是任一樣本與該樣本集均值的差的絕對(duì)值，表示的是該樣本與均值的偏離程度，每個(gè)樣本與均值的偏離程度之和再求平均，則就是字面意思了，所有樣本與平均值的偏離程度，故稱為平均偏差。

平均偏差可以反應(yīng)樣本點(diǎn)與均值的平均偏離程度。

標(biāo)準(zhǔn)偏差

標(biāo)準(zhǔn)偏差(Standard Deviation)與平均偏差(Average Deviation)類似，也是基于平均值的統(tǒng)計(jì)量。所不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差是利用樣本與均值絕對(duì)偏差的平方和求取的。

標(biāo)準(zhǔn)差反應(yīng)信號(hào)相對(duì)平均值的波動(dòng)程度。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，反應(yīng)信號(hào)數(shù)值分布更靠近平均值，反之越大則表示信號(hào)相對(duì)平均值更分散

標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)樣本是研究樣本的總體，還是只是收集的部分樣本而分為兩種情況：

• 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差

總體標(biāo)準(zhǔn)偏差

如果僅將數(shù)據(jù)視為總體，則可以將其各點(diǎn)絕對(duì)偏差之和除以數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)N，而后開平方：

樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差

如果待研究的數(shù)據(jù)看成待研究系統(tǒng)數(shù)據(jù)的部分，則可以將其各點(diǎn)絕對(duì)偏差之和除以數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)N-1，而后開平方：

看到這個(gè)公式，有的盆友或許會(huì)問(wèn)，為啥除的是N-1？而不是N！所以這個(gè)就是對(duì)這個(gè)概念需要理解的一個(gè)點(diǎn)：

這里計(jì)算的是樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差公式是基于正態(tài)分布推導(dǎo)而來(lái)，所以總體標(biāo)準(zhǔn)差公式是除以N，而在應(yīng)用中，不是數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的意義，只能以有限的樣本序列去近似描述總體的特征，除以N-1是一種無(wú)偏估計(jì)，所謂無(wú)偏估計(jì)，是指無(wú)偏性，無(wú)偏性的實(shí)際意義是指沒(méi)有系統(tǒng)性的偏差。在多次重復(fù)下，它們的平均數(shù)接近所估計(jì)的參數(shù)真值。

我們計(jì)算這個(gè)參數(shù)，就是想利用這個(gè)參數(shù)去反應(yīng)樣本序列集的客觀特征，所計(jì)算的樣本序列往往可能只是截取的數(shù)據(jù)段，并非所有的數(shù)據(jù)樣本。在信號(hào)處理中，我們拿到的數(shù)據(jù)一般而言都是系統(tǒng)的部分樣本，所以實(shí)際使用中應(yīng)該使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)偏差的理解，還有一層需要理解透，它的量綱仍然是原樣本的量綱，比如研究的是電壓信號(hào)，單位為伏，則計(jì)算而得的標(biāo)準(zhǔn)偏差依然是伏。

有趣的栗子

在國(guó)外網(wǎng)站上看到一組有趣的圖片，可以更好的幫助理解：

https://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

假設(shè)有這樣幾種可愛(ài)的狗狗：其身高分別為：600mm, 470mm, 170mm, 430mm, 300mm.

則其均值為：

所以上圖中用綠色線標(biāo)識(shí)下身高均值：

從而每個(gè)狗相對(duì)均值的偏差如下圖：

從而，其標(biāo)準(zhǔn)差則為：

然后再標(biāo)識(shí)一下每個(gè)狗的身高

上圖可看出第2、4、5個(gè)狗的身高與均值的偏差在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，而第1、3只狗身高與均值超出了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差概念也經(jīng)常用來(lái)衡量產(chǎn)品的生成品質(zhì)，比如你常聽到的說(shuō)法，這個(gè)零件的加工偏差是否在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，這里的標(biāo)準(zhǔn)差就是標(biāo)準(zhǔn)偏差的意思。

上面的公式如果不開平方，這就是常說(shuō)的方差了，類似有兩種概念：

• 樣本方差：

• 總體方差：

再來(lái)個(gè)栗子

前面說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)差，常用來(lái)衡量數(shù)據(jù)的分布情況：

標(biāo)準(zhǔn)差反應(yīng)信號(hào)相對(duì)平均值的波動(dòng)程度。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，反應(yīng)信號(hào)數(shù)值分布更靠近平均值，反之越大則表示信號(hào)相對(duì)平均值更分散

為啥這樣說(shuō)，看看下面這個(gè)栗子就好理解了：

假設(shè)有這樣三組數(shù)據(jù)，假定這三組數(shù)據(jù)來(lái)自三個(gè)同類型傳感器的采樣值，對(duì)相同的外界多次采樣(這里為了說(shuō)明問(wèn)題，請(qǐng)不用考慮數(shù)據(jù)本身的合理性)，我們來(lái)計(jì)算一下其均值、平均偏差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

三組數(shù)據(jù)連同其均值繪制成曲線：

第1組：

第2組：

第3組：

從曲線圖我們可以很直觀的看出第1個(gè)傳感器表現(xiàn)更好，那么如何用一個(gè)特征值來(lái)區(qū)分呢？如用平均絕對(duì)偏差顯然并不能很好的描述，三組數(shù)據(jù)均值相同，無(wú)法區(qū)分三個(gè)傳感器的表現(xiàn)，因?yàn)橛?jì)算出平均絕對(duì)偏差相同。如用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行度量，則可以得出：

其物理含義，表示第1組數(shù)據(jù)分布程度相對(duì)更為靠近平均值。

總結(jié)一下

均值、平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、方差是信號(hào)處理幾個(gè)基礎(chǔ)概念，尤其標(biāo)準(zhǔn)差、方差在很多復(fù)雜的濾波算法、估計(jì)算法中是重要的理論基礎(chǔ)概念。所以準(zhǔn)確的理解這些概念，也是能理解更為復(fù)雜的算法的基礎(chǔ)。所謂基礎(chǔ)不牢、地動(dòng)山搖！