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這是關于現(xiàn)代合成器的系列文章的第一篇文章，本文介紹了基本的鎖相環(huán)操作以及各種拓撲結構。
近年來，頻率合成技術發(fā)生了重大變化。數(shù)十年來，超低噪聲的分立式 VCO 一直是低噪聲合成器的核心存在，現(xiàn)在它們發(fā)現(xiàn)正在面臨來自集成 VCO 的挑戰(zhàn)。目前最好的分立式 VCO 仍然享有 20-30 分貝的相位噪聲優(yōu)勢，但是 IC 公司正在以完全集成為武器進行一場非對稱的戰(zhàn)斗，以圖主導這個市場，它們并不追求最低的 VCO 噪聲，而是通過架構創(chuàng)新讓自由運行的 VCO 噪聲變得不再那么重要。
芯片廠商的解決方案是，在芯片上放置良好的 VCO，通過反饋將噪聲抑制到非常低的水平上，然后把它們分解到應用頻帶內，以進一步降低相位噪聲。分立 VCO 供應商現(xiàn)在面臨的挑戰(zhàn)是如何將它們在應用頻帶內出色的相位噪聲擴展到更高頻率上，同時還能獲得最新合成器的全部架構創(chuàng)新優(yōu)勢。
本系列文章一共分為五篇，第一篇將回顧現(xiàn)代先進的設計方法，余下四篇文章中，有兩篇文章將介紹詳細的噪聲分析，一篇文章講述實現(xiàn)低噪聲的關鍵部件和工具，還有一篇將給出需要低噪聲的示例，以說明當前的最新技術性能。
基本 PLL 操作和二階歸一化形式
大多數(shù)經(jīng)典教科書提供了標準二階形式的 PLL 設計，給出了雖然是近似但仍然非常有用的設計和分析方程，以及如圖 1 所示的循環(huán)操作的簡單描述。
圖 1：這是一款二階和三階形式帶高壓電荷泵的 PLL 頻率合成器（C1 = 0 表示二階）。通過可編程的 R 和 N 分頻數(shù)，由固件設置頻率。
我們一向習慣于將電壓和電流視為反饋量，但是，除此之外，PLL 還將相位和頻率視為小信號頻率域變量。當尋求在較寬的頻率范圍內鎖定時，現(xiàn)代相位頻率檢測器（PFD）充當驅使壓控振蕩器（VCO）頻率鎖定的頻率檢測器。 隨著頻率不斷收斂，環(huán)路轉換到鎖相模式，其中，相位表現(xiàn)為數(shù)字沿的時間差，漸漸趨近于零。
頻率是相位變化量對時間的導數(shù)（ω=dθ/ dt），所以可以把相位看做為頻率的積分。由于是壓控震蕩，VCO 充當了輸入電壓到輸出相位的積分器，它會引入 -90 度的相移。這也是它的傳遞函數(shù)形式為 Ko/s 的原因，這是積分環(huán)節(jié)的標準頻域表示，在傳遞函數(shù)中，Ko 的單位一般是弧度 / 秒 / 伏特。VCO 的數(shù)據(jù)表通過以 MHz/V 為單位給出 Ko 的數(shù)值。為了統(tǒng)一，本文將 Hz/V 等價為 kHz，Ko 為弧度形式，因此，Ko = 2πKHz。
前向通道中的積分環(huán)節(jié)引入 -90 度相移，負反饋引入 -180 度相移，由于相移達到 -360 度時會導致不穩(wěn)定，所以濾波器環(huán)節(jié)的最大允許相移為 90 度。我們通常會在環(huán)路帶寬上留下至少 40 度的“相位裕度”。該裕度來自于電阻器 R2 在傳遞函數(shù)中引入的零點，因為如果沒有這個電阻，電荷泵處的電容器會起到一個積分器的作用，再次引入 -90 度相移，這樣會直接導致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。
現(xiàn)在我們回顧一下對相移的基本分析。參考文獻中給出了環(huán)路的經(jīng)典“相位傳遞函數(shù)”，定義如下：
Hclassic（s）是從相位檢測器上的參考輸入到反饋輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在經(jīng)典參考文獻中通常簡稱為“H（s）”。 這里的 classic 下標用于和在大多數(shù)現(xiàn)代文獻中用于開環(huán)傳遞函數(shù)的“H(s)”進行清楚地區(qū)分。對于上圖，如果我們對圖中各個環(huán)節(jié)進行變量消除、替換和求解，會得到 Hclassic（s）的具體定義：
從這個等式可以看出，這是我們所熟悉的二階控制系統(tǒng)形式，為了幫助理解和計算，我們把它轉換為如下形式的標準二階系統(tǒng)形式：
這兩個方程式形式相同，根據(jù)等式（2）和（3），我們可以得到如下兩個參數(shù)：
這里的ωn 是“自然”角頻率，接近但通常不等于開環(huán)帶寬。系統(tǒng)穩(wěn)定后，其瞬態(tài)響應會以固有頻率“反復震蕩”。這里的ζ是“阻尼因子”，為了保證系統(tǒng)最終能夠趨于穩(wěn)定，這個參數(shù)必須大于零。通常，我們會將阻尼系數(shù)設定為大約 0.5，這將提供大約 45 度的相位裕度，或者增加一個介于 0.7-1 之間的額外濾波極點。
通常的 PLL“誤差傳遞函數(shù)”定義為：
根據(jù)自動控制理論，He(s)也可以表示為標準形式：
從頻率響應來看，He（s）是高通函數(shù)，而相位傳遞函數(shù) Hclassic（s）是低通函數(shù)。而且，從上面公式可以很快看出：
結果表明，使用這些函數(shù)可以方便地表達 PLL 的許多調制和噪聲響應，這將有助于理解環(huán)路是如何形成噪聲的。例如，相位檢測器參考輸入上的相位或相位噪聲變化將轉化為與相位傳遞函數(shù)成比例的 VCO 輸出。由于相位傳遞函數(shù)是一個低通函數(shù)，因此，高于環(huán)路帶寬的噪聲將被抑制掉或者被調制。環(huán)路帶寬內的壓控振蕩器相位噪聲將根據(jù)上面給出的 He(s)函數(shù)形式被抑制，這部分噪聲包括分壓器噪聲、電荷泵噪聲和晶體參考噪聲。
根據(jù)上面的各個分析方程式，我們可以得到以下設計方程：
這兩個方程用于根據(jù)所選擇的固有自然角頻率和阻尼因子的數(shù)值確定 R 和 C 的具體值。當引入額外的濾波極點時，這些值會發(fā)生變化（特別是電容器會變化很大），但用這兩個公式依然可以作為非常有用的起點，可以用于許多近似值的求取上，比如建立時間、超調量，也可以用于尋找環(huán)路濾波器可能的最小熱噪聲。
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三階無源濾波器 PLL
這是一種具備高度可用性的最簡單的三階無源濾波器 PLL 形式，只需要添加一個額外的電容器 C1 就能實現(xiàn)。這里引入了另一個濾波器極點，它可以抵消掉一個零點。這意味著，對于這個系統(tǒng)的相位頻率響應而言，存在一個頻率點，相位在該處取得最高峰值，然后再下降（圖 2）。
圖 2：這是一個經(jīng)過正確設計的三階 PLL 的開環(huán)增益頻率響應曲線和相位頻率響應曲線。通過設計，最大相位出現(xiàn)在環(huán)路帶寬位置上。
環(huán)路濾波器阻抗為：
根據(jù)電路分析，上述公式中的參數(shù)如下：
開環(huán)增益函數(shù)由（G 是前向通道增益的傳遞函數(shù)，H 為反饋通道的傳遞函數(shù)）給出：
我們知道 Kd、Ko 和 N 這三個參數(shù)，需要選擇環(huán)路帶寬ωL 和相位裕度φm。為了找到我們上面公式中的三個未知數(shù) A0、T1 和 T2，需要建立三個等式。我們從 GH 的增益（在ωL 處為 1）、GH 的相位（在ωL 處給出φm）以及 GH 的相位相對于ω的導數(shù)（在ωL 處為零）求得它們。這也是現(xiàn)代控制理論中的基本方法。
GH 的幅值為：
當ω = ωL 時，該幅值為 1，可以求得 A0
相位裕度是一個從零度到 90 度的正數(shù)，它是開環(huán)相位和 180 度的差值：
將相位裕度視為相移相對于可變頻率的導數(shù)，并在ω=ωL 處將該導數(shù)設置為零，可以得到：
我們現(xiàn)在對兩個未知數(shù) T1 和 T2 有了兩個非線性方程。 我們可以用數(shù)學方法求解出這兩個未知數(shù)，但是有的參考文獻中給出了一個封閉形式的解法：
現(xiàn)在，我們可以確定如下電路參數(shù)的值：
二階濾波器（三階環(huán)路）是能夠實現(xiàn)最低噪聲的濾波器形式。但是，將帶寬推高之后，通常需要一個額外的濾波極點，以保證相位檢測器的噪聲不會污染 VCO 的噪聲。
四階無源濾波器 PLL
這種形式使用了圖 3 中所示的三階濾波器，它可能是當前的 VCO 產(chǎn)品中最常見的濾波器形式。
圖 3：這是四階和五階的濾波器形式
開環(huán)傳遞函數(shù)由下式給出：
濾波器（傳遞）阻抗由下式給出：
系數(shù) A1 和 A2 是冗長函數(shù)中參量的有用縮寫（參見該參量的冗長版本）。
使用開環(huán)傳遞函數(shù)中的幅度頻率特性：
我們接下來定義 Banerjee 所謂的“極值比”，設計師應根據(jù)諸如雜散排斥等因素來選擇合適的極點比值。從技術上講，這些比值可以更恰當?shù)乇环Q為時間常數(shù)的比率，但我們將繼續(xù)使用當前控制系統(tǒng)領域已經(jīng)建立的術語來稱它們?yōu)闃O值比。
T31 用來定義所增加的極點到虛軸的距離，我們必須使用小于 1 的 T31，而且我們發(fā)現(xiàn)，將它定位 0.5 就可以幾乎實現(xiàn)所有可能的雜散抑制。
開環(huán)傳遞函數(shù)的相位裕度由下式給出：
相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值處。以相位對可變頻率取導數(shù)，然后應用ω=ωL 的一階導數(shù)為 0 進行計算，給出：
在選定了合適的極值比 T31 之后，T3=T31*T1，可以對 T2 和 T1 進行數(shù)值求解。
現(xiàn)在我們來看看 Banerjee 使用的“Gamma 優(yōu)化因子”。它允許使用近似，我們可以將 T2 的早期表達式以近似形式擴展到更高階的循環(huán)（參考文獻 7，第 5 版，第 309 頁），同時定義γ：
在實際設計中，該參數(shù)通常接近 1，范圍為 0.7 至 1.3。
經(jīng)過替換，我們可以得到這個近似值（相位裕度為相位和 180 度的差值）：
在上面這個表達式中，只需要求解出 T1 的值。當 x 較小時，tan-1 可以近似等于 x，計算得出的 T1 結果是：
再計算其它兩個時間常數(shù)：
使用近似方法時：
我們根據(jù)以下公式計算 A1 和 A2：
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現(xiàn)在，對于 C1、C2、C3、R2、R3 這五個未知數(shù)有了四個等式，為了求解，需要找到第五個方程，Banerjee 采用的方法是找到滿足這些等式的 C3 的最大值。對上面這些等式進行一系列變換操作，可以找到 C3：
使用一階導數(shù)檢驗 C3 的峰值：
到這里為止，我們可以求解 C1 了，將它插入到等式 40 中求得 C3，最終結果為：
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無源濾波器五階 PLL
在環(huán)路中增加一個額外的 RC 環(huán)節(jié)可以在三階濾波器的基礎上對遠距離雜散抑制指標進行適度改善。以一種非常近似的比較，三階環(huán)路濾波器對二階的改進大約是 2 到 7 分貝，四階濾波器相對于三階濾波器的改進大約是 1-3 分貝（參考文獻 7，第 5 版，第 7 頁）。
運算放大器有源濾波器 PLL
使用運算放大器的主要原因是可以擴展環(huán)路濾波器的電壓范圍，以允許 VCO 具有較大的調諧范圍，相比之下，無源環(huán)路濾波器僅限于相對較低的合成器 IC 電荷泵輸出范圍。如文獻 2 和文獻 3 所示，有源濾波器方案可以降低 Ko，提高穩(wěn)定性，并降低噪聲。運算放大器還允許使用阻值更小、噪聲更低的電阻，并可以在運算放大器后放置一個極值最低的極點。有源環(huán)路濾波器有幾種拓撲結構，這里（圖 4）以完整的四階形式給出一個優(yōu)選版本。
圖 4：這是一個有源四階濾波器和五階 PLL，也可以選擇五階濾波器。這種濾波器被稱為“慢速震蕩”有源濾波器，因為輸入的 RC 環(huán)節(jié)降低了對響應速度的要求。運算放大器的帶寬限制性能有利于使用雙極輸入濾波器選項，將濾波器轉換為五階，將環(huán)路轉換為六階。
為運算放大器的正輸入端提供一個低噪聲的直流參考電壓，環(huán)路和運算放大器的組合可以將運算放大器的負輸入保持在相同的電壓水平上。在這種形式下，運算放大器的輸出將通過流過 Zfor 的電流“泵升”，以承受維持鎖定所需的任何電壓?？梢赃x擇合適的器件參數(shù)值，使這種反相形式的噪聲增益很小（見第 2 條）。
對于傳輸阻抗 Z（f），我們發(fā)現(xiàn)：
重要的一點是 T4 應該是最低頻率的極點。
我們還發(fā)現(xiàn)：
作為 jω的函數(shù)的開環(huán)增益是：
使用開環(huán)傳遞函數(shù)的幅度函數(shù)（在循環(huán)帶寬處為 1）：
無論是 f1 較低還是 f3 較低，最低頻率的極點都應該是 f4。
為了評估 A0 的值，我們需要得到 T4 和 T2，然后使用選定的極值比來求得 T1 和 T3，準確的方程形式為：
最大相位裕度出現(xiàn)在相位裕度函數(shù)的峰值位置，我們用ω=ωL 代替出現(xiàn)最大相位裕度時的頻率，通過一階導數(shù)測試求取：
以上這些可以用于求出 T2 和 T4 的數(shù)值解，求出 T2 和 T4 后，通過選定的極值比導出 T1 和 T3，對于 f4 以上的最低極點，極值比大約為 0.5，次低極點的極值比大約為 0.25。可以將下面的近似值作為求取數(shù)值解的起點：
我們可以使用γ= 1，或者根據(jù) Banerjee 給出的優(yōu)化標準改變它的取值。剩下的唯一變量就是 T4 了，我們可以求得它的數(shù)字解，或者求取近似解：
如果使用近似形式，可以進一步求得 T2：
無論是數(shù)值解，還是近似解，根據(jù)選定的極值比：
現(xiàn)在，我們已經(jīng)有了 A0 = C1 + C2 這個等式所需的所有變量值了，然后我們可以找到所有器件的參數(shù)值：
現(xiàn)在我們來選擇 R3、C3、R4 和 C4 的值，這看起來很簡單，因為我們有它們的時間常數(shù)（RC 乘積），但是這里有一些微妙的復雜性需要處理，而且還要考慮運算放大器的限制。
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在運算放大器的輸入端，乍看起來，似乎較小的 R3 可能有助于降低噪聲，但事實恰恰相反。 R3 的熱噪聲以其取值平方根的形式上升，噪聲增益也會隨著 R3 而下降，因此運算放大器輸出上的 R3 噪聲隨著其取值以平方根的形式下降。 因此，我們傾向于根據(jù)其他限制允許選擇最大的 R3。
Banerjee 給出了相位頻率檢測器在頻率鎖定模式下的占空比，它是 fref 和 fout / N 之比的函數(shù)，如下所示：
上式中的 flower 取 fref 和 fout / N 中的最小值。由于大多數(shù) VCO 的鎖定頻率和其中心頻率的距離不是很遠，因此占空比很少超過 10％（倍頻程型 VCO 是例外）。
我們將ΔVmC3 定義為在頻率鎖定采集事件期間，我們希望在 C3 上施加的最大濾波電壓和 Vref 的差值（比如為了符合運算放大器的輸入要求）?；诖耍覀兛梢詫?R3max 寫一個關系式：
此外，我們需要注意轉換速率限制。 Banerjee 提供了實驗證據(jù)，如果運算放大器的轉換速度不夠快，則環(huán)路帶寬內的 1 / f 相位噪聲會惡化（通常會降低幾個分貝）。最壞情況下的壓擺率（最高值）通常對應的是頻率鎖定過程結束時的頻率鎖定情況，由下式給出：
此外，還需要注意運算放大器的帶寬限制問題，不過，我們可以通過添加雙極輸入濾波器來減輕它的影響。它可以幫助在濾波器件對運算放大器進行頻率限制，以防止有超出其指定帶寬的信號到達它的輸入端。
接下來，我們考慮運算放大器輸出電流在 C4 上的限制。我們習慣于在運算放大器的數(shù)據(jù)手冊上看到嚴格的負載限制，但是，當這些負載被直流隔離時，許多負載可以驅動 10Ω甚至更小的負載，即使是大電容也是如此。不過，如果 PLL 上的頻率發(fā)生很大變化，那么該電容會激發(fā)出較大的電流，可能會超過運算放大器的最大值，該限制值一般在 10mA 至 100mA 范圍內。從根本上說，我們希望，在較大的頻率變化期間，運算放大器最大電流 Iopmax 能夠以與 Dc * Ipd 對 C2 充電相同的速率對 C4 充電。使用庫侖定律 I * t = CV：
由于尺寸和成本的原因，得到的這個最大值有時會超過我們想要在實際設計中使用的值，而且，即使進行了直流隔離，它也可能導致運算放大器的電阻值太小。在這種情況下，我們先選擇 R4 的值，讓它的其熱噪聲遠小于運算放大器的噪聲，然后再計算 C4 = T4 / R4。
后面的系列文章
本文給出的傳遞函數(shù)能夠用來揭示第 2 篇和第 3 篇文章中的噪聲來源和形狀，這兩篇文章同時展示了推動完全集成的關鍵創(chuàng)新，以及分立 VCO 制造商是如何進行反擊的。第 4 篇文章將介紹作為低噪聲合成器設計者武器的關鍵部件和 CAD 工具。第 5 篇給出了集成和分立 VCO 合成器的要求和示例。
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