廣義互相關(guān)

你可以使用廣義互相關(guān)（ Generialized Cross-Correlation[1] ）來(lái)估計(jì)一個(gè)信號(hào)達(dá)到兩個(gè)傳感器的時(shí)間延遲。比如應(yīng)用麥克風(fēng)陣列來(lái)確定聲源方位的應(yīng)用背景。問(wèn)題可以用以下模型來(lái)描述：

其中是聲音信號(hào)，是兩個(gè)聲音傳感器檢測(cè)噪聲，D 就是聲音信號(hào)在兩個(gè)麥克風(fēng)傳感器上的到達(dá)時(shí)間差（TDOA），或稱(chēng)為時(shí)間延遲（Time Lag），表示以一個(gè)傳感器為基準(zhǔn)，信號(hào)到達(dá)另一個(gè)傳感器的延遲。

通常假設(shè)聲音信號(hào)是廣義穩(wěn)定隨機(jī)過(guò)程且三者之間不相關(guān)?？梢允褂脙蓚€(gè)傳感器獲得信號(hào)之間的互相關(guān)最大化來(lái)得到該時(shí)間延遲。

在實(shí)際應(yīng)用中，通常都是采集到的有限長(zhǎng)的信號(hào)，因此只要在時(shí)間內(nèi)近似保持平穩(wěn)和不相關(guān)即可。兩個(gè)信號(hào)的互相關(guān)可以通過(guò)下面公式進(jìn)行估計(jì)：

通過(guò)兩個(gè)相距的傳感器上所得到的信號(hào)到達(dá)時(shí)間差（TDOA），可以計(jì)算出聲音的方向：

▲ 聲源方向與兩個(gè)相距 d 的傳感器之間的 TDOA 之間的關(guān)系

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公式中的是聲音在空氣中傳播的速度。

如果聲音信號(hào)的頻譜很寬，那么它的自相關(guān)信號(hào)就會(huì)呈現(xiàn)非常窄帶的尖峰，使用前面估算 TDOA 的公式就可以得到非常好的結(jié)果。比如 Chirp 信號(hào)就是一個(gè)寬帶聲音信號(hào)。下面是 Chirp 信號(hào)就是應(yīng)用在智能車(chē)信標(biāo)組的導(dǎo)航聲音信號(hào)，它的頻率范圍是 250Hz~2000Hz。下面是疊加有五倍幅值噪聲的兩個(gè)版本。

▲ Chirp 信號(hào)以及兩個(gè)疊加有 5 倍幅值隨機(jī)噪聲的信號(hào)

下面給出了是兩個(gè)帶有很大噪聲的 Chirp 信號(hào)互相關(guān)之后的結(jié)果。得益于 Chirp 信號(hào)的寬帶，盡快兩個(gè)信號(hào)帶有的噪聲非常大，但相關(guān)后的峰值還是依然非常明顯。

▲ 將兩個(gè)疊加有隨機(jī)噪聲的 Chirp 信號(hào)互相關(guān)結(jié)果。上：全部的互相關(guān)；下：將中心峰值展開(kāi)的結(jié)果

如果信號(hào)不是寬帶信號(hào)，則使用普通的互相關(guān)所檢測(cè)到的峰值就會(huì)不明顯，而且受到噪聲影響很大。

比如下面是一個(gè)帶寬只有 100Hz（1900~2000Hz）的 Chirp 信號(hào)。疊加有幅度只有 0.25 的隨機(jī)噪聲。

▲ 頻帶寬度只有 1900~2000Hz 的 Chirp 信號(hào)及其帶有噪聲的版本

下面是計(jì)算得到的信號(hào)的互相關(guān)波形。展開(kāi)之后可以看到它的峰值就不是非常明顯，而且在峰值附近受到噪聲的影響會(huì)出現(xiàn)左右的偏移。

▲ 使用普通互相關(guān)得到的結(jié)果

使用廣義互相關(guān)（GCC：Generallized ?Cross-Correlation）可以提高檢測(cè)的精度。

下面就是使用 GCC-PHAT 重新計(jì)算上面窄帶 Chirp 信號(hào)的互相關(guān)，可以看到所得到的相關(guān)峰值就大大改善了，從而提高了計(jì)算的精度。

▲ 使用廣義互相關(guān)相位變換(GCC-PHAT)計(jì)算得到的互相關(guān)結(jié)果

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參考資料

[1]Generialized Cross-Correlation: https://ww2.mathworks.cn/help/phased/ref/gccphat.html