沖激響應

沖激響應是信號處理領域中的一個重要概念，描述了系統(tǒng)對單位沖擊信號的響應過程。在時域中，沖激響應等價于系統(tǒng)的脈沖響應。沖激響應經(jīng)常被用來分析和設計信號處理系統(tǒng)，例如濾波器、均衡器等。

1.沖激響應是什么

沖激響應是指線性時不變系統(tǒng)對單位沖擊信號的響應函數(shù)。單位沖擊信號是一個幅度為1，寬度極窄的信號，其在時間區(qū)間內(nèi)有一個高斯形狀或非常尖銳的峰值。任何信號可以看作是許多單位沖擊信號的疊加。

假設一個線性時不變系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，則其沖激響應可表示為：

h(t) = y(t), when x(t) = δ(t)

其中δ(t)為單位沖擊信號，因為只有在這種情況下系統(tǒng)對信號的響應是唯一確定的。

2.沖激響應分類

根據(jù)特性，沖激響應可以分為有限長沖激響應和無限長沖激響應兩種。

有限長沖激響應指系統(tǒng)對單位沖擊信號的響應是有限長的，即在某個時間段內(nèi)響應完畢。這種響應通常出現(xiàn)在數(shù)字濾波器中，其系統(tǒng)函數(shù)具有有理函數(shù)形式。

無限長沖激響應指系統(tǒng)對單位沖擊信號的響應是無限長的，響應將一直存在于時間軸上。這種響應通常出現(xiàn)在連續(xù)時間系統(tǒng)中，其系統(tǒng)函數(shù)具有分數(shù)階或者冪函數(shù)的形式。

3.沖激響應形成條件

在系統(tǒng)模型中，要求系統(tǒng)必須是線性時不變的，否則不能使用沖激響應來描述其響應特性，而需要使用其他方法來區(qū)分和描述。因此，當我們想要使用沖激響應來解析系統(tǒng)時，必須先檢驗系統(tǒng)是否滿足線性時不變特性。

系統(tǒng)的線性時不變特性取決于如下兩個條件：

• 線性：系統(tǒng)的輸出必須滿足疊加原理，即對于任意xi(t)和xi1(t)，其輸出y1(t)=x1(t)*h(t), y2(t) = x2(t)*h(t)，則y(t)=c1*y1(t)+c2*y2(t) = c1*x1(t)*h(t)+c2*x2(t)*h(t) = (c1*x1(t)+c2*x2(t))*h(t)。
• 時不變：系統(tǒng)的輸出必須和時間t無關，即對于所有輸入信號xi(t)和時間t0，其輸出為y(t)=x(t-t0)*h(t)