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今天下午課程中講授傅里葉變換性質(zhì)部分內(nèi)容，這應(yīng)該是“信號與系統(tǒng)分析”課程中最為核心的重要內(nèi)容部分。往往由于傅里葉變換性質(zhì)眾多，內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，也成為學生學習過程中的難點。
▲ 課間同學們在試做作業(yè)預(yù)留的練習題
昨天備課的時候一直在思考，如何能夠?qū)⒏道锶~變換性質(zhì)的講解內(nèi)容進行恰當?shù)囊?，想起了在一年之前發(fā)送的推文“ 數(shù)學中的虛幻模式[1] ”，其中介紹了由數(shù)學家Borwein 父子發(fā)現(xiàn)的一種數(shù)學中虛幻模式現(xiàn)象，即數(shù)學規(guī)律突然消失的情況。
▲ David Borwein
一個典型的虛幻模式是針對與如下級數(shù)信號相乘結(jié)果的面積求解問題：
如果僅僅討論的面積，求解還是比較方便，它的面積為。但是求解上述信號乘積之后的面積則相對比較復(fù)雜。
下圖顯示了前兩項信號相乘之后的波形。如果通過數(shù)值計算，可以驗證，這個波形的面積仍然嚴格為。
▲ sinc(t),sinc(t/3)信號相乘之后的波形
隨著相乘的信號項數(shù)增加，乘積結(jié)果信號逐步發(fā)生變化，變化幅度 越來越小。從波形上來看，整個乘積函數(shù)逐步收斂于一個固定函數(shù)。當年Borwein定義了乘積函數(shù)的積分為如下：
它被稱為Borwein積分，它反映了乘積函數(shù)的面積。
求解上述面積非常困難，數(shù)學家借助于數(shù)值計算逐步求解上面的積分，就會發(fā)現(xiàn)一個令人困惑的現(xiàn)象：當函數(shù)的乘積項N等于1至7的時候，積分的數(shù)值In始終都精確的等于π。但是當N=8的時候，雖然看起來整個函數(shù)圖像與前面很相似，但結(jié)果卻不在嚴格等于π了，而是稍微變小了，大約小了0.0000000001（9個0，1個1）。
上面這種數(shù)學模型的突變，的確會使人感到困惑。除了它之外，還有更長的數(shù)學虛幻模式，比如下面的積分，當小于56的時候，都嚴格等于，直到大于等于57，就開始變小。
對于這樣的數(shù)學虛幻模式的解釋，從傅里葉變換的角度，需要使用到相應(yīng)的尺度特性、頻移特性、卷積特性等等。并且在近期發(fā)表的《物理評論快報》上的 Satya N. Jajumda還對其使用統(tǒng)計物理學中的隨機 游走的概念進行解釋，因此使用該數(shù)學虛幻模式來引入傅里葉變換性質(zhì)的講解比較有趣。詳細的討論可以參見博文數(shù)學中的虛幻模式[1]。
▲ 課程中學生們正在通過微信思考作業(yè)練習題
在課程一開始，講述了信號乘積面積求解的問題，并指出前七向乘積的結(jié)果面積都嚴格等于。為了提起大家好奇心，對于前八項乘積信號的面積是多少做成一個選擇題，請同學們憑借自己的直覺進行判斷，并將猜測通過公眾號打在公屏上。
下面顯示出只有八位同學猜對了答案。
▲ 故事之后引入的現(xiàn)場討論題
也許這種與直接相悖的結(jié)論，更能激起那些學習比較認真自負學生們的興趣。希望他們能夠在周五完整學習完傅里葉變換性質(zhì)之后，能夠?qū)τ诒疚闹兴o出的Borwein積分對應(yīng)的所展示的數(shù)學虛幻模式能夠自行進行分析。
▲ 課堂上，同學們通過公眾號將自己的直覺答案打在公屏上
參考資料
[1]數(shù)學中的虛幻模式: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/104134302
最后，給公眾號的同學們說一聲，本學期周二下午，周五上午我的大班課程需要用到公眾號，在這兩個半天期間大家盡量不要在公眾號留言提問。否則你們的提問飄過我的課堂公屏，我怕HOLD不住課堂氣氛。
