什么是傅里葉變換？

對(duì)于一個(gè)離開(kāi)課堂十余年的射頻工程師來(lái)說(shuō)，傅里葉變換已經(jīng)不知道埋藏在腦子里的那個(gè)角落，或者根本就沒(méi)在腦子里停留過(guò)。但無(wú)論如何，傅里葉變換對(duì)現(xiàn)在通信的重要性還是不言而語(yǔ)。當(dāng)我們已經(jīng)習(xí)慣用頻域去描述一個(gè)信號(hào)的時(shí)候，你可曾思考過(guò)其真實(shí)的樣子到底是什么？為什么這幾個(gè)短短的頻譜就可以描述一個(gè)信號(hào)？

所以呢，我們首先得感謝傅里葉，正是傅里葉大神的天才發(fā)明，帶給我們一個(gè)全新的看待問(wèn)題的角度，讓我們跳出時(shí)域這個(gè)圈子，站在頻域的角度去看待問(wèn)題。這樣做又有什么好處呢？且看下文。首先來(lái)瞻仰一下傅里葉大神的肖像，致敬兩分鐘。（做好閱讀全文的心理準(zhǔn)備）

其實(shí)傅里葉大神在最初提出這個(gè)思想的時(shí)候，并沒(méi)有想著去解決信號(hào)的問(wèn)題，而是要來(lái)描述溫度的變化曲線，其實(shí)當(dāng)時(shí)麥克斯韋也還沒(méi)有出生。傅里葉大神在1830年去世的時(shí)候，麥克斯韋還是是個(gè)躲在媽媽肚子里的小貝比呢。發(fā)明電話的那個(gè)亞歷山大貝爾還要再過(guò)十幾年才出生。所以，無(wú)心插柳柳成蔭吧。其實(shí)傅里葉變換除了在通信上有很重要的應(yīng)用，在很多領(lǐng)域都有著不可替代的重要性。其作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)遍布現(xiàn)代科技的各個(gè)角落。

傅里葉大神當(dāng)時(shí)在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，這篇論文用正弦波來(lái)描述溫度變化曲線。如果只簡(jiǎn)單描述溫度曲線的話也就罷啦，他出人意料的提出了一個(gè)在當(dāng)時(shí)具有相當(dāng)大的爭(zhēng)議性的論斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。

就像我們做選擇題一樣，太武斷的答案一定是錯(cuò)的，所以當(dāng)時(shí)人們也特別質(zhì)疑過(guò)這個(gè)論斷，最著名的當(dāng)屬兩個(gè)最著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯。當(dāng)時(shí)他們哥倆是傅里葉這篇論文的審稿人。所以說(shuō)當(dāng)時(shí)真是個(gè)神仙打架的時(shí)代。

剛好在傅里葉大神的這篇論文審查時(shí)，拉格朗日和拉普拉斯兩位拉氏牛人就干起來(lái)了。拉普拉斯同意傅里葉的觀點(diǎn)，并同意發(fā)表這篇論文，而拉格朗日則堅(jiān)決反對(duì)，因?yàn)槔窭嗜請(qǐng)?jiān)決認(rèn)為，傅里葉的方法無(wú)法表示帶棱角的信號(hào)。

大家被高等數(shù)學(xué)里面拉格朗日的各種數(shù)學(xué)分析方法折磨，就知道，這個(gè)牛人我們?nèi)遣黄?，?dāng)時(shí)更沒(méi)人去挑戰(zhàn)拉格朗日的權(quán)威。因此這個(gè)論文就遲遲沒(méi)有發(fā)表。直到拉格朗日去世15年之后才公布于世。不用說(shuō)，現(xiàn)在傅里葉的論斷確實(shí)是正確的，為什么呢？因?yàn)槔蠋熣f(shuō)了，我們學(xué)了。那到底是不是這個(gè)回事呢？

我們先來(lái)看一下矩形信號(hào)能不能用一組適當(dāng)?shù)恼仪€來(lái)組合而成？看下圖所示，一個(gè)正弦曲線時(shí)，和矩形差遠(yuǎn)了。但是當(dāng)疊加的正弦信號(hào)越來(lái)越多的時(shí)候，這個(gè)組合而來(lái)的圖形就越來(lái)越方了。當(dāng)有無(wú)窮多個(gè)正弦曲線組合到一起的時(shí)候，這個(gè)組合圖就是矩形了。奇怪的是拉格朗日發(fā)明了無(wú)窮級(jí)數(shù)，怎么能沒(méi)想到這點(diǎn)呢？可能是屁股決定了腦袋。

當(dāng)然，人們對(duì)傅里葉的論斷又做了補(bǔ)充和擴(kuò)展。傅里葉變換就是：

f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿(mǎn)足狄里赫萊條件：在一個(gè)以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點(diǎn)上，函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。

我們先把上面這個(gè)公式拋在腦后，接著講一下為什么是正弦曲線Sin（x）/余弦曲線？因?yàn)樗?jiǎn)單啊。它就是一個(gè)棍在轉(zhuǎn)圈圈。當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在繞著一個(gè)圓心做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其隨時(shí)間變化的曲線就是正弦曲線/余弦曲線。

當(dāng)我們把一組沿著不同圓周，不同圓心轉(zhuǎn)圈圈的點(diǎn)都拉到時(shí)間軸上來(lái)的時(shí)候，其就會(huì)變得越來(lái)越方。

那跟頻域有什么關(guān)系呢？

好像有沒(méi)啥關(guān)系，這就是傅里葉級(jí)數(shù)吧。

沒(méi)錯(cuò)，就是傅里葉級(jí)數(shù)，但是把傅里葉級(jí)數(shù)的求和表示成積分形式就是傅里葉變換。

可能這里大家有點(diǎn)疑惑，上面傅里葉級(jí)數(shù)用的是三角函數(shù)Sin和Cos，但是下面的傅里葉變換卻換成了e的指數(shù)。原因有兩個(gè)，一是，太懶了，不想再編輯公式，第二個(gè)是感謝歐拉！歐拉統(tǒng)一了e的指數(shù)和正余弦函數(shù)：

我們繼續(xù)研究上文的那個(gè)矩形曲線。我們把組成矩形曲線的這些正弦曲線鋪開(kāi)放平，就可以觀察到它的頻域方向。從頻域方向看過(guò)去，就是一個(gè)個(gè)一定幅度的固定在某一頻率上的線。從頻域方向看過(guò)去，所有都靜止了，沒(méi)有時(shí)間了。也就是說(shuō)，我們通過(guò)傅里葉變化，把信號(hào)從時(shí)域空間搬到了頻域空間。

就像我們之前討論電磁波的三要素一樣，這個(gè)頻域信號(hào)也具有同樣的三要素：幅度，頻率和相位。幅度就是信號(hào)的強(qiáng)弱，或者是傅里葉級(jí)數(shù)里面的an，頻率就是里面的

，相位就是信號(hào)的初始位置。

至此，我們就把信號(hào)從時(shí)域空間搬運(yùn)到了頻域空間，而且兩個(gè)空間所描述的信號(hào)是一模一樣的，就像一個(gè)人有兩個(gè)名字一樣，劉備和劉玄德都是指的同樣一個(gè)人。頻域里的信號(hào)和時(shí)域里的信號(hào)一樣。所以，有時(shí)候分析一個(gè)信號(hào)，我們可以用頻譜分析儀去看它的頻譜，也可以用示波器去看它的波形一樣。

那么只要是滿(mǎn)足狄里赫萊 條件的信號(hào)，都可以用傅里葉變換把其從時(shí)域變換到頻域。因?yàn)樗伎梢苑纸獬梢幌盗泻线m的正弦曲線的組合。

比如像FM調(diào)制的信號(hào)，其時(shí)域波形和頻譜如下圖所示。