根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)答疑過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于三角形信號(hào)卷積結(jié)果的疑惑，給出了相應(yīng)的數(shù)值、理論、以及頻譜分析的解答。特別是后面頻譜分析部分也是由另外參加答疑的同學(xué)提出的。之所以這個(gè)題目會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，主要原因來(lái)自于卷積計(jì)算“圖解法”所帶來(lái)的誤導(dǎo)。圖解方法只能幫助確定卷積的階段和積分上下限，求解卷積結(jié)果還是需要根據(jù)實(shí)際信號(hào)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

01 三角波卷積

一、答疑碰到的問(wèn)題

這兩天信號(hào)與系統(tǒng)期末考試答疑中，多次碰到學(xué)生詢問(wèn)起一個(gè)課堂練習(xí)的習(xí)題。也就是為什么兩個(gè)等腰三角形的卷積是答案（C）：一個(gè)類似于升余弦的光滑曲線，而不是答案（B）一個(gè)尖頂?shù)拿}沖。此時(shí)才意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題的確有和直覺(jué)相違背的地方。

▲ 圖1.1.1 三角波與自身的卷積波形：選擇題

通過(guò)分析，造成判斷錯(cuò)誤的來(lái)源，實(shí)際上是誤用了求解卷積過(guò)程中的“圖解法”。圖解方法通過(guò)把卷積的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成信號(hào)波形的變化，幫助確定卷積階段和積分的上下限。但往往也會(huì)對(duì)卷積結(jié)果產(chǎn)生誤導(dǎo)，即部分同學(xué)會(huì)將兩個(gè)圖像重疊對(duì)應(yīng)的圖像面積當(dāng)做求解的結(jié)果，但這種情況只能發(fā)生在一個(gè)信號(hào)是常量的情況。

▲ 圖1.1.2 對(duì)于簡(jiǎn)單信號(hào)所使用的圖解方法

二、問(wèn)題分析

這兩天答疑過(guò)程中，學(xué)生也給出了對(duì)于這個(gè)問(wèn)題很好的解釋。下面給出相應(yīng)的總結(jié)：

1、數(shù)值求解

下面是通過(guò)數(shù)值求解反映的 一些等腰三角形與其自身卷積的結(jié)果，結(jié)果說(shuō)明了兩個(gè)等腰三角學(xué)卷積的確是一個(gè)一階導(dǎo)數(shù)光滑的曲線。

▲ 圖1  三角波與三角波相互卷積

2、理論分析

對(duì)于這類有限長(zhǎng)度的簡(jiǎn)單信號(hào)，在求解它們之間相互卷積的時(shí)候，同時(shí)使用“圖解法”幫助確定積分的區(qū)間。由于兩個(gè)三角波形自身都具有兩個(gè)變化階段一個(gè)是上升階段，一個(gè)是下降階段。它們的長(zhǎng)度相同，所以通過(guò)簡(jiǎn)單分析可以知道這兩個(gè)三角波卷積過(guò)程，它們重合情況可以分成四個(gè)階段，如下圖所示。當(dāng) 不在這四個(gè)階段的時(shí)候，兩個(gè)三角形不重合，卷積結(jié)果為 0。

▲ 圖1.2.2 卷積過(guò)程中四個(gè)不同的重疊階段

由于參與卷積的信號(hào)左右對(duì)稱，所以只需要對(duì)于第一、第二階段進(jìn)行求解；然后將結(jié)果偶對(duì)稱得到信號(hào)在 之后的結(jié)果。

（1）第一個(gè)階段

在   時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊范圍是 。此時(shí)對(duì)應(yīng)的卷積運(yùn)算為

這個(gè)求解化簡(jiǎn)過(guò)于繁瑣，使用Python中的符號(hào)求積分軟件包可以幫助進(jìn)行求解

t,T = symbols('t,T')
result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))

（2）第二階段

在 ，參與卷積的信號(hào)重疊方式為如下圖所示，重疊區(qū)域?yàn)?。

合并前面求解的第一、第二階段的公式，將它們進(jìn)行反褶之后，便可以得到第三、第四階段的公式。最終三角形卷積的結(jié)果為：

（3）數(shù)值驗(yàn)證

下面使用Python對(duì)上述公式進(jìn)行繪制，查看卷積結(jié)果的信號(hào)波形。

def w(t,t1,t2):
  return heaviside(t-t1, 0.5)-heaviside(t-t2, 0.5)
def f1(t):
   return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3
def f2(t):
  return -t**3/2 - t**2 + 2/3
def f(t):
    return f1(t) * w(t, -2, -1) +
     f2(t) * w(t, -1, 0) +
    f2(-t) * w(t, 0, 1) +
    f1(-t) * w(t, 1, 2)

t = linspace(-2, 2, 500)
fdim = f(t)
plt.plot(t, fdim)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

3、傅里葉變換

可以利用傅里葉變換卷積定理，分析兩個(gè)三角脈沖信號(hào)的卷積。對(duì)于高度為 1，寬度為 2 的對(duì)稱等腰三角型，對(duì)應(yīng)的頻譜為 

卷積結(jié)果對(duì)應(yīng)的頻譜為：

當(dāng)然，直接從上面結(jié)果進(jìn)行傅里葉反變換求解卷積時(shí)域表達(dá)式也比較麻煩，不過(guò)它可以告訴我們，卷積結(jié)果的頻譜幅度衰減的規(guī)律應(yīng)該是 。再由信號(hào)波形的光滑性與頻譜衰減之間的關(guān)系可知，卷積結(jié)果應(yīng)該是滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。由此也可以幫助判斷在選擇題中，只有答案（C）能夠滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的要求，其它三個(gè)信號(hào)波形對(duì)應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)都不連續(xù)。